已知a, b, c为正数，且满足abc=1. 证明： \begin{align} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le a^2 + b^2 + c^2 \end{align} 和 \begin{align} (a+b)^3 + (b+c)^3+ (c+d)^3 \ge 24 \end{align}

证明: 如果把abc=1带入第一个要证明的不等式，那么 \begin{align} a^2+b^2+c^2 \ge bc + ca + ab \end{align} 两边同时乘以2，右边移到左边得到 \begin{align} 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca \ge 0 \end{align} 不等式左边又可以写成 \begin{align} a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2 = (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \end{align} 三个完全平方的和大于等于0，原不等式得证。

现在我们证明第二部分。由第一个不等式得知 \begin{align} a^2+b^2 \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - c^2 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - \frac{c}{ab} \end{align} 所以 \begin{align} (a+b)^3 = (a+b)^2(a+b) = (a^2+b^2+2ab)(a+b) \ge (\frac{1}{a}+ \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - \frac{c}{ab} + \frac{2}{c})(a+b) = 1 + 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{3a}{c} + \frac{3b}{c} - \frac{c}{b} - \frac{c}{a} \end{align} 同理， \begin{align} (b+c)^3 \ge 1 + 1 + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} + \frac{3b}{a} + \frac{3c}{a} - \frac{a}{b} - \frac{a}{c} \
(c+a)^3 \ge 1 + 1 + \frac{c}{a} + \frac{a}{c} + \frac{3c}{b} + \frac{3a}{b} - \frac{b}{a} - \frac{b}{c} \end{align}

把三个不等式相加，得到 \begin{align} (a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3 \ge 6 + 3(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + 3(\frac{a}{c} + \frac{c}{a}) + 3(\frac{b}{c} + \frac{c}{b}) \end{align}

由于 \begin{align} \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2 \end{align}

所以， \begin{align} (a+b)^3+(b+c)^3+(c+d)^3 \ge 6 + 3\cdot2 + 3\cdot2 + 3\cdot2 = 24 \end{align}

原不等式得证。